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高等数学建模中案例教学的方法的应用
发布时间:2017-08-10 点击: 发布:
高等数学建模中案例教学的方法的应用
 
[摘 要]:高等数学建模中案例教学的方法是在课堂教学中,以具体案例作为教学内容,通过具体问题的建模范例,介绍数学建模的思想方法。我们在各章节学完之后,适当选编一些实际应用问题,引导学生进行分析,通过抽象、简化、假设,确定变量、参数,确立数学模型,解答数学问题,从而解决实际问题,这样既使学生掌握了数学建模的方法,又使学生深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器,有利于教学中贯彻理论和实际相结合的原则,大大提高了学生分析问题和解决问题的能力。  
[关键词]:高等数学,建模,案例教学
 
一、数学建模教育的内涵
数学建模教育就是围绕数学建模面向全体学生而进行的教学和实践活动。教学活动就是教师通过对己有模型或材料的讲解,让学生了解一些数学建模的方法和步骤,初步形成一定的数学建模能力,可在教师的指导下,模仿建立一些简单地数学模型。
二、数学建模教学为高等数学教育改革探索出路
数学建模教学具有密切联系多领域的实际问题、以实际案例的分析为教学内容的特点,因此它有助于克服传统数学教学中知识与能力脱节的弊端,可以启迪学生应用数学的意识、兴趣和能力;数学建模教学中所采用的多为研讨班模式,可以极大地发挥学生的参与意识;在研讨过程中,教师和学生地位平等,共同讨论,这使学生的学习变被动为主动,会极大调动学生自觉学习各种知识的积极性;数学建模教学中,常采用分层次、模块式的教学体系,这探索了用现代数学的观点和方法去改造传统教学内容和教学体系的新路子。我国传统高等数学的内容,过多地注重连续型数学和确定性数学的教学,轻视或忽略了离散数学和非确定性数学的教学。数学建模即实际问题的解决,需要各种不同的数学,这对大学数学课程的设置提出了新的要求。
三、高等数学建模案例教学的基本流程
(一)重视教学准备
高等数学建模案例教学教师的准备,要以学生己具备的数学教育经验和教育理论、信念为基础,并提供必要的教育理论知识准备,在此基础之上,指导学生分析案例,提出假设。同时,在准备环节中,教师提供给学生相关的数学案例学习理论是十分重要的。教师既可以在讲授某一理论知识时呈现案例,也可以在讲完一个单元或一个章节之后呈现。教师呈现案例的方式有以下几种:(1)给学生印发一份文字案例;(2)教师生动形象地描绘案例;(3)教师利用多媒体技术呈现案例;(4)教师利用即时的刺激或环境制造真实的案例,或者学生自己表演案例。此外,教师要根据案例设计思考的问题,预先布置给学生,让学生阅读、准备。
在进行案例教学时,学生要根据自己己有的学习经验和知识,对案例中的某种情境提出某种预想、预设或假说,或提出某种行动计划,或对案例中的问题进行界定,所有这些活动,如预想、预设、预定、预想建议、行动计划、行动构想等都称之为“准备”。而教师应在“准备”环节提供相关的理论,作为学生分析案例的基础。
第一、阅读案例:在案例教学开始时,应该引导学生阅读案例,对案例内容有大体的了解。
第二、案例的分析:确定关键问题;确定是否还有与己找出的关键问题有关但却未予发现的重要问题;选定适合分析此案例所采取的一般分析方法;明确分析系统的主次关系,并找出构成自己分析逻辑的依据;确定所要采取的分析类型。
 
(二)提纲掣领,精心构建自学、讨论教学情景
案例教学是一种以学生为中心对现实问题和某一特定事实进行交互式的探索过程。所以高等数学案例教学必须把握住学生对基本理论知识掌握的具体程度,从而对学生的学习及时提供帮助性的提示,以达到更好的教学效果。案例教学对理论联系实际,提高学生分析和解决问题的能力具有很大的作用,但它毕竟是通过一个个具体的典型事件来实现的,它不能离开基本理论知识的指导与支持。否则,学生只会就事论事。例:某航空公司为了发展新航线的航运业务,需要增加5架波音747客机。如果购进一架客机需要一次支付5000万美元现金,客机的使用寿命为15年。如果租用一架客机,每年需要一次支付600万美元的租金,租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为12% ,问购买客机与租用客机那种方案为佳?如果银行的年利率为6%呢?
    解:购买一架客机可以使用15年,但需要马上支付5000万美元。而同样租一架客机使用15年,则需要以均匀货币流方式支付15年租金,年流量为600万美元。两种方案所支付的价值无法直接比较,必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较。我们以当前价值为准。
购买一架客机的当前价值为5000万美元。
下面计算均匀货币流的当前价值:设t=0时向银行存入 美元,按连续复利计算,t年之后在银行的存款额恰好是A美元。也就是说,t年后的A美元在t=0时的价值为 美元。那么,对流量为a的均匀货币流,在[t, t+ t]时所存入的a t美元,在t=0时的价值是 。
由微元法可知,当t从0变到T时,周期[0, T]内均匀流在t=0时的总价值可表示为
因此,
15年的租金在当前的价值为
 (万美元)
当r=12%时,  (万美元)
比较可知,当r=6%时,此时租用客机比购买客机合算。
 (万美元)
此时购买客机比租用客机合算。
因此,案例教学绝不能代替系统的基础理论知识的教学,绝不能让学生放任自流,由他们自我发现。对于具体的内容仍需教师进行理论讲授;对于具体的典型案例仍需教师启发提示。当然,这种讲授或提示必须是提纲掣领,言简意赅,画龙点睛,引而不发,并要具体提出自学、讨论的基本要求。
(三)创造一个轻松和谐的学习环境和自由讨论的氛围
高等数学建模案例教学中,不能够把学习和讨论完全地分成两个独立的部分,而应该是在学习中进行讨论,在讨论中进行学习,学习与讨论相辅相成。案例教学的讨论一般以小组讨论的形式进行,适当组织全班讨论。以学习小组的形式(一般3-5人一个小组),组织学生进行讨论或其他集体学习活动。这是因为许多复杂的案例,没有小组的集体努力,没有组内的相互补充、分工合作、鼓励支持,个人很难分析得好;同时学习小组还为学生提供了一个具有挑战性的论坛,让学生表达自己的观点,并批判性地考查别人的观点。
至于讨论的形式,通过教学实践,在高等数学案例教学中,通过学生小组讨论,班级讨论,师生问答等形式,最好形成一个立体的信息交流网络,以实现师生间的信息多向交流。因为大学生心理和学习的特点,其学习的主动性不足,所以教师的适当引导十分重要,教师应该主动引导学生互相切磋、组内合作、组际竞争、讨论交流、形成集体智慧,师生之间,生生之间的互动得到充分的运用。教师要充分利用教学中动态因素之间的多边互动,多向交流的效果。因此,高等数学建模案例教学中,讨论以采用师生多向立体交流为益。
(四)引导学生反思,给与学生鼓励性评价
案例分析无标准答案可言,因此,教师的总结和评价应主要针对学生讨论过程的评价和对案例本身的评价以及对案例中蕴涵的道理的归纳总结。对大学生而言,总结和评价应以正面激励为主,以培养和发展学生的学习兴趣和积极性为基础。对讨论中积极发言的同学应给予肯定,对有独到见解的同学应给予表扬。对平时发言不够积极而此次讨论中有所表现的同学,更应注意正面激励,鼓励学生增强信心,继续努力,积极参与讨论活动。对学生在讨论中暴露出来的一些典型思路(正确或错误的)应给予正确评价,要给学生以豁然开朗的感觉,使他们从中受到启示,提高其思维能力。
四、结论
在高等数学教学中配以循序渐进、由浅入深、由易到难的数学模型内容,这就易于在潜移默化之中提高学生的数学实践能力,这在学生的能力培养方面又达到了事半功倍的效果;再者,数学模型课程本身内容庞杂,各部分难度深浅不一,在高等数学教学中渗透数学建模思想后,由于已经讲授了微积分方面的数学模型,这有利于后继的数学模型课的进一步学习。因此,在高等数学教学中渗透建模思想的初步训练也是十分必要的。在教学中,虽然不能直接开展建模竞赛,但是可以通过引入建模竞赛的思维和方法,来充分发挥学生的积极性和自主性,以案例分析为重点,以“用”为标准,激发他们的求知欲。
 
参考文献:
1李亚芹,以数学建模实践为平台的高等数学教学探索,高等教育研究  2009/01
2王怀友,谈高等数学教学中数学建模思想的渗透,理论界 2008/10
3姜启源, 数学建模 ,高等教育出版社,1993年版
4吴健辉,对数学建模思想融入高等数学教学中的探讨,景德镇高专学报 2007/04

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